Primzahl
Eine
Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Eine Primzahl ist also eine natürliche Zahl größer als eins, die nur durch sich selbst und durch 1 ganzzahlig teilbar ist. Die kleinsten Primzahlen sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 … Eine natürliche Zahl größer als 1 heißt
prim, wenn sie eine Primzahl ist, andernfalls heißt sie
zusammengesetzt. Die Zahlen 0 und 1 sind weder prim noch zusammengesetzt. Das Wort „Primzahl“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „die erste Zahl“. Die Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf drei Folgerungen aus dieser Definition: ▪
Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Zum Beweis dient das ▪
Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist mindestens einer der Faktoren durch sie teilbar.